1. 要約 フレネル積分を一般化した積分\(\displaystyle \int_0 ^\infty \sin(x ^k)dx\)の値は \[\notag \begin{align*} \int_0 ^\infty \sin(x ^k)dx=\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right) \end{align*} \] である． 2. フレネル積分 フレネル積分は \[\notag \begin{align*} \int_0 ^\infty \sin(x ^2)dx \end{align*} \] で表される積分である．ここでは，\(x ^2\)を\(x ^k(k\geqq 2)\)に置き換えた \[\notag \begin{align*} \int_0 ^\infty \sin(x ^k)dx \end{align*} \] をフレネル積分の一般化とし，この値を求める．ただし\(k\)は整数とする． 積分を求める道具として，コーシーの積分定理を用いる． 3. コーシーの積分定理 単連結領域\(D\)上で正則な関数\(f(z)\)，\(D\)内の任意の有限長の閉曲線\(C\)について \[\notag \begin{align*} \oint_C f(z)dz=0 \end{align*} \] \(\) が成立する． また，特に次の不等式が成立することに注意する． \(\sin \theta\)に関する不等式 \(0\le \theta \le \pi/2\)なる\(\theta\)に対して \[\notag \begin{align*} \sin \theta \ge \frac{2}{\pi}\theta \end{align*} \] が成立する． 証明 グラフを考えればほとんど明らかである．\(f(\theta)=\sin \theta-\dfrac{2}{\pi}\theta\)とおく．\(f'(\theta)=\cos \theta -\dfrac{2}{\pi}\)である．\(0<\dfrac{2}{\pi}<1\)と\(\cos \theta\)の単調性から，\(\cos\alpha =\dfrac{2}{\pi}\)なる\(\alpha(0< \alpha < \dfrac{\pi}{2})\)がただ一つ存在する．\(f(\theta)\)は\(0<\theta<\alpha\)で単調増加，\(\alpha<\theta<\dfrac{\pi}{2}\)で単調減少である．\(f(0)=f(\pi/2)=0\)から \[\notag \begin{align*} f(\theta)\ge 0\Longleftrightarrow \sin \theta-\dfrac{2}{\pi}\theta \ge 0\Longleftrightarrow \sin \theta \ge \dfrac{2}{\pi}\theta. \end{align*} \] \(\Box\) 4. 積分を分解する \[\notag \begin{align*} f(z)=\exp(iz ^k) \end{align*} \] とおき，下の画像のような積分路で\(f(z)\)を積分する．向きは，\(C_1\)は原点から\((R,0)\)向き，\(C_2\)は反時計回り，\(C_3\)は弧の端から原点向きである．\(C=C_1+C_2+C_3\)とする．\(C\)は\(\mathbb{C}\)内の単純閉曲線となる． \(f(z)\)は全平面で正則であるから，とくに\(C\)の中で正則である．よって，コーシーの積分定理より \[\notag \begin{align*} \oint_C f(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz+\int_{C_3}f(z)dz=0 \end{align*} \] が成立する．\(\displaystyle I_i=\int_{C_i}f(z)dz\)とおくと，定義から\(I_1+I_2+I_3=0\)が成り立つ． \[\notag \begin{align*} C_1&=\{ t \mid 0\le t \le R \},\\ C_2&=\{ Re^{i\theta} \mid 0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2k} \},\\ C_3&=\{\, te^{i\frac{\pi}{2k}} \mid 0\le t \le R \, \} \end{align*} \] であるから \[\notag \begin{align*} I_1&=\int_{C_1}f(z)dz=\int_0 ^R \exp(it^k)dt,\\ I_2&=\int_0 ^{\frac{\pi}{2k}}\exp(iR ^ke ^{ik\theta})Rie ^{i\theta}d\theta,\\ I_3&=\int_{C_3}\exp(iz ^k)dz\\ &=-e ^{i\frac{\pi}{2k}}\int_0 ^R \exp (it ^k\cdot e ^{i\frac{\pi}{2}})dt\\ &=-e ^{i\frac{\pi}{2k}}\int_0 ^R \exp (-t ^k)dt \end{align*} \] である． \[\notag \begin{align*} \lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, I_1 = \int_0^\infty \sin(x^k)dx \end{align*} \] であるため，\(I_2, I_3\)の値がわかれば\(I_1 = -(I_2+I_3)\)から\(\displaystyle \int_0^\infty \sin(x^k)dx\)の値が求められる． 5. 積分の値を求める 5.1. \(I_2\)の値 \(0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2k}\)より，\(0\le k\theta \le \dfrac{\pi}{2}\)である．これを用いると \[\notag \begin{align*} |I_2| &\le R\int_0 ^{\frac{\pi}{2k}}\exp(-R ^k\sin k\theta)d\theta\\ & \le R\int_0 ^{\frac{\pi}{2k}}\exp(-R ^k\frac{2k}{\pi}\theta)d\theta\\ & =\dfrac{\pi}{2kR ^{k-1}}(1-e ^{-\frac{R ^k}{k}})\\ & \longrightarrow 0 \qquad (R \longrightarrow \infty) \end{align*} \] 以上より，\(R\to \infty\)で\(I_2\to 0\)である． 5.2. \(I_3\)の値 \[\notag \begin{align*} I_3=-e ^{i\frac{\pi}{2k}}\int_0 ^R \exp (-t ^k)dt \end{align*} \] において\(u=t^k\)と変数変換をする．\(u,t\ge 0\)より，\(t=u ^{1/k}\)であり\(\dfrac{dt}{du}=\dfrac{1}{k}u ^{1/k-1}\)である．よって \[\notag \begin{align*} I_3 &= -\frac{e ^{i\frac{\pi}{2k}}}{k}\int_0 ^{R ^k} u ^{\frac{1}{k}-1}\exp (-u)dt\\ & \xrightarrow[R\to \infty]{} -\frac{e ^{i\frac{\pi}{2k}}}{k}\Gamma \left(\frac{1}{k}\right) \end{align*} \] である．ここでガンマ関数\(\Gamma(\cdot)\)は \[\notag \begin{align*} \Gamma(s)=\int_0 ^\infty x ^{s-1}e ^{-s}dx \end{align*} \] で定められる広義積分であり，この関数は\(s>0\)で収束する．また，\(\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\)が成り立つ． \(1/k>0\)より，\(\dfrac{1}{k}\Gamma\left(\dfrac{1}{k}\right)=\Gamma\left(1+\dfrac{1}{k}\right)\)であるから \[\notag \begin{align*} \lim_{R\to \infty}I_3=-\frac{e ^{i\frac{\pi}{2k}}}{k}\Gamma \left(\frac{1}{k}\right)=-e ^{i\frac{\pi}{2k}}\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right) \end{align*} \] である． 5.3. 積分の値 以上より \[\notag \begin{align*} \lim_{R\to \infty}I_2 &= 0\\ \lim_{R\to \infty}I_3 &= -\frac{e ^{i\frac{\pi}{2k}}}{k}\Gamma \left(\frac{1}{k}\right)=-e ^{i\frac{\pi}{2k}}\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right) \end{align*} \] であることがわかった．\(I_1 = -(I_2+I_3)\)より \[\notag \begin{align*} \lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, I_1 &= -\lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, (I_2+I_3)\\ &= -\lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, I_3\\ &= -\mathrm{Im}\, \left(\lim_{R\to \infty} I_3 \right)\\ &= \mathrm{Im}\, \left\{ e ^{i\frac{\pi}{2k}}\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right) \right\}\\ &=\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right) \end{align*} \] であり\(\displaystyle\lim_{R\to \infty}\mathrm{Im}\, I_1 = \int_0^\infty \sin(x^k)dx\)より \[\notag \begin{align*} \int_0 ^\infty \sin(x ^k)dx=\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2k}\right) \end{align*} \] である. 6. 補足 \(I_1\)の実部を取れば \[\notag \begin{align*} \int_0^\infty \cos(x^k)dx=\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2k}\right) \end{align*} \] であることも分かる． 7. 参考文献 畑 政義，『数理科学のための複素関数論』，サイエンス社，2018年．