1. 時間 18:00- 20:00 2. 参加者 zab 柴犬レオ 3. 発表範囲 柴犬レオ p.146-155 高階導関数，テイラーの定理の証明のための補題 命題 \(U \subset \mathbb{R}^2\)とする．関数\(f ~ \colon ~ U \to \mathbb{R}\)に対して\(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}, \dfrac{\partial f}{\partial x_2}, \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}\)が存在して\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}\)は点\((a,b) \in U\)において連続であるとする． このとき点\((a,b) \in U\)において\(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}\)も存在して連続である． \(U \subset \mathbb{R} ^n\) の場合も定理1の証明と同様の方針で示せる．定理1より \(C^2\) 級関数 \(f~ \colon ~ U \to \mathbb{R}\) は \(1 \leq i, j \leq n\) を満たす任意の \(i,j\) について \begin{align*} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} \end{align*} である． 命題 \(U \subset \mathbb{R}^n\)とする．関数\(f ~ \colon ~ U \to \mathbb{R}\)が\(C^{r}\)級で，\(h \in U\)に対して直線\(\{a+th | 0 \leq t \leq 1 \}\)が点\(a\)の近傍に含まれるとする． \[\notag \begin{align*} g(t) = f(a+th) \end{align*} \] として定義された関数\(g~ \colon ~ [0,1] \to \mathbb{R}\)は\(r\)回微分可能で， \[\notag \begin{align*} g^{(r)}(t) = (h \cdot \nabla)^r f(a+th) \end{align*} \] となる． 定理2に1変数の場合のテイラーの定理を適用することで多変数の場合のテイラーの定理を得る． 4. 次回の範囲 柴犬レオ 多変数のテイラーの定理(14.2) p155- 5. 連絡 特になし．